Bài Tập Phân Phối Chuẩn Có Lời Giải

  -  

1. Định nghĩa

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận quý giá trong khoảng (( – infty ; + infty )) được call là có phân phối chuẩn chỉnh nếu hàm tỷ lệ xác suất của nó tất cả dạng:

(f(x) = frac1sigma sqrt 2pi exp left – frac(x – mu )^22sigma ^2 ight\)

Nếu tiến hành khảo gần kề hàm này ta thấy: f(x) > 0 ((forall x))

Khi (x o pm infty ) thì f(x) → 0. Hàm số đạt cực lớn tại điểm (x = mu ) và: (f(mu ) = – frac1sigma sqrt 2pi )

Hàm số bao gồm 2 điểm uốn: 

(M_1left( mu – sigma ;frac1sigma sqrt 2pi e ight)) và (M_2left( mu + sigma ;frac1sigma sqrt 2pi e ight))

Đồ thị của hàm f(x) bao gồm dạng như hình chuông, đối xứng qua con đường thẳng (x = mu )

Thí dụ: Với (mu = 3) và (sigma = 0,6) thì thứ thị của hàm số f(x) như sau:

*

Chú ý: Để tính quý giá của hàm f(x) với vẽ đồ gia dụng thị của hàm này ta hoàn toàn có thể sử dụng những hàm vào Excel (xem phụ lục 1, phần trưng bày chuẩn)

2. Các tham số đặc trưng

Kỳ vọng toán: nếu như đại lượng tự dưng X có phân phối chuẩn với hàm tỷ lệ như bên trên thì: (E(X) = mu )

Chứng minh: Theo tư tưởng kỳ vọng toán của đại lượng bỗng nhiên liên tục, ta có:

(E(X) = intlimits_ – infty ^ + infty xf(x)dx = frac1sigma sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty x, mexp,left – frac(x – mu )^22sigma ^2 ight dx)

Đặt: (t = fracx – mu sigma Rightarrow x = mu + sigma t;,,dx = sigma dt)

Để ý rằng khi thay đổi sang vươn lên là t thì cận rước tích phân không chũm đổi.

Bạn đang xem: Bài tập phân phối chuẩn có lời giải

Vậy ta có:

(E(X) = frac1sigma sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty (mu + sigma t)exp left – fract^22 ight sigma dt)

(= fracmu sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty exp left – fract^22 ight dt + fracsigma sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty t,exp left – fract^22 ight dt)

Theo giải tích ta có: 

(intlimits_ – infty ^ + infty exp left – fract^22 ight dt = sqrt 2pi )

(intlimits_ – infty ^ + infty texp left – fract^22 ight dt = 0)

Do đó: E(X) = (mu )

Phương sai: nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn chỉnh với hàm mật độ như trên thì:

(V mar(X) = sigma ^2)

Chứng minh: Theo tư tưởng phương không đúng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta có:

(V mar(X) = intlimits_ – infty ^ + infty left< x – E(X) ight> ^2f(x)dx)

Vì X có phân phối chuẩn nên: E(X) = (mu). Vì chưng đó: 

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: 

(V mar(X) = frac1sigma sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty (x – mu )^2 exp left – frac(x – mu )^22sigma ^2 ightdx)

Đặt (t = fracx – mu sigma Rightarrow x = mu + sigma t;dx = sigma dt)

Khi đó:

(V mar(X) = frac1sigma sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty sigma ^2 t^2exp left – fract^22 ight\sigma dt = fracsigma ^2sqrt 2pi intlimits_ – infty ^ + infty t^2 exp left – fract^22 ightdt)

Áp dụng cách thức tích phân từng phần;

Đặt: (u = t;,dv = t, mexp,left – fract^22 ightdt Rightarrow v = – exp left – fract^22 ight\)

Ta có: (V mar(X) = fracsigma ^2sqrt 2pi left eginarrayl + infty \ – infty endarray ight. + intlimits_ – infty ^ + infty exp left – fract^22 ightdt ight\)

Ta thấy: 

( – t,exp ,left – fract^22 ight\left| eginarrayl + infty \ – infty endarray ight. = 0)

(intlimits_ – infty ^ + infty exp left – fract^22 ight dt = sqrt 2pi )

Vậy ta có: (V mar(X) = sigma ^2)

Đại lượng thốt nhiên X có phân phối chuẩn chỉnh với mong muốn toán là (mu) cùng phương sai là (sigma ^2) được cam kết hiệu là X ~ N((mu, sigma ^2))

Phân phối chuẩn chỉnh do công ty toán học tập Đức Karl Gauss đưa ra nên có cách gọi khác là phân phối Gauss.

Xem thêm: Mệnh Kim Sơn Nhà Màu Gì - Màu Sơn Nhà Đẹp Nhất Hợp Mệnh Kim Năm 2020, 2021

3. Phân phối chuẩn chính tắc

Giả sử đại lượng đột nhiên X bao gồm phân phối chuẩn với mong rằng toán là (mu) và phương sai là (sigma ^2). Xét đại lượng ngẫu nhiên:

(Z = fracX – mu sigma )

Đại lượng ngẫu nhiên z nhận quý hiếm trong khoảng (( – infty ; + infty )) được gọi là tất cả phân phối chuẩn chính tắc trường hợp hàm tỷ lệ xác suất của z bao gồm dạng: 

(f(z) = frac1sqrt 2pi exp left – fracz^22 ight\)

Đồ thị của hàm f(z) củng có bề ngoài chuông, đối xứng qua trục tung, (hình 3.17)

*

Có thể chứng tỏ được rằng: giả dụ đại lượng bỗng dưng z bao gồm phân phối chuẩn chính tắc thì:

E(Z) = 0 cùng Var(Z) = 1

Đại lượng bất chợt Z gồm phân phôi chuẩn chỉnh chính tắc được ký hiệu là Z ~ N(0,1)

Ta ký hiệu (z_alpha ) là cực hiếm của đại lượng ngẫu nhiên Z tất cả phân phối chuẩn chính tắc tán thành điều kiện:

(z_alpha > 0,,và,P(Z > z_alpha ) = alpha )

Nếu minh hoạ trên vật thị ta thấy diện tích của miền hình học giới hạn bởi mặt đường cong hàm tỷ lệ và trục hoành bởi 1 đơn vị chức năng thì za là một trong điểm nằm ở trục hoành làm sao để cho diện tích của miền gạch chéo trên hình vẽ bởi (alpha).

Xem thêm: Nalod Đà Nẵng - The Nalod Da Nang (Đà Nẵng)

*

Cho trước a ta hoàn toàn có thể tính được những giá trị za.

4. Những công thức tính xác suất

Nếu (X sim N(mu ,sigma ^2)) thì 

Trong đó: (P(x_1 le X le x_2) = Phi left( fracx_2 – mu sigma ight) – Phi left( fracx_1 – mu sigma ight))

Trong đó: (Phi (x) = frac1sqrt 2pi intlimits_0^x exp left( – fracz^22 ight) dz)

Chứng minh: thật vậy, ta có:

(Pleft( x_1 le X le x_2 ight) = Pleft( fracx_1 – mu sigma le fracX – mu sigma le fracx_2 – mu sigma ight) = Pleft( z_1 le Z le z_2 ight))

Theo tính chất hàm tỷ lệ (tính hóa học 2) ta có:

(eginarrayl Pleft( z_1 le Z le z_2 ight) = intlimits_z_1^z_2 f(z)dz = intlimits_0^z_2 f(z)dz – intlimits_0^z_1 f(z)dz \ = Phi left( fracx_2 – mu sigma ight) – Phi left( fracx_1 – mu sigma ight) endarray)

Đồ thị của hàm (Phi (x)) như sau:

*

Cách tính giá trị hàm Laplace được trình diễn ở phụ lục 1 (phần bày bán chuẩn)

Các giá trị của hàm (Phi (x)) được xem sẩn thành bảng, (xem phụ lục 3). Cần để ý là trong bảng này chỉ tính các giá trị của hàm (Phi (x)) với hầu hết giá trị x > 0, nếu phải tính giá trị của (Phi (x)) với x (Phi (x)) là hàm lẻ, bởi vì đó: (Phi ( – x) = – Phi (x))

Trong bảng chỉ tính (Phi (x)) với x (le) 3,59, cùng với x > 3,59 thì hàm (Phi (x)) tăng rất lờ đờ và nhận quý giá rất gần 0,5. Do thế ta rước (Phi (x)) = 0,5 ((forall )x > 3,59)